elektrostatik sınır değer problemi ve çözümü

unusual

sınır değer probleminin açık açık aşama aşama baştan sona çözümü.
--------
ELEKTROSTATİK SINIR DEĞER PROBLEMİ ÇÖZÜMÜ

Problemin içerdiği iletken sistemi belli bir potansiyelde olduğundan ve serbest yükler içermediğinden Laplace denkleminin çözümünü gerektirir.Belli sınır koşullarını kullanarak çözülmesinden dolayı sınır değer problemi olarak adlandırılır.
Dik koordinatlarda V skaler elektrik potansiyeli için Laplace denklemi
∂2V + ∂ 2V = 0 dır.
∂x2 ∂y2
Potansiyel fonksiyonumuz z ekseninden bağımsız x-y düzlemindedir
Değişkenlere ayrılma yöntemini uygulamak için, V(x,y) çözümünün
V(x,y)=X(x)Y(y) şeklinde olduğunu varsayırız. X(x) ve Y(y) sadece x ve y nin fonksiyonudur.Bu şekilde Laplace denkleminde V yerine yazılırsa
Y(y) ∂2X(x) + X(x) ∂2Y(x) = 0 şekline gelir.Her iki tarafı ___1_____ ile çarparsak
∂x2 ∂y2 X(x)Y(y)
_1_ ∂2X(x) + _1_ ∂2Y(y) = 0 haline gelir. ........(1)
X(x) x2 Y(y) ∂y2
Bu iki terimin her biri yanlızca bir koordinat değişkeninin fonksiyonudur ve yanlızca normal türevler içerir.Denklemin tüm x ve y değerlerinde sağlanabilmesi için iki terimin her biri sabit olmalıdır.Aksi halde,y’yi sabit tutarak x’i değiştirdiğimizde X(x) değişirdi,toplam da değişirdi ama 1 denklemi toplamın daima sıfır olduğunu belirmektedir.
Örneğin denklemin x’e göre diferansiyeli alınırsa y’li terim x’ten bağımsız olduğundan